simonの開発日記

文系が数学や統計学に挑む

合成関数の微分

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合成関数とは

f(g(x))
となるような関数のこと。

このf(g(x))x で微分するにはどうするのか。

合成関数の微分

定理

定理というかただの式変形だけど。

定理:\displaystyle\frac{d}{dx}f(g(x))=\frac{d}{dg(x)}f(g(x))\times\frac{d}{dx}g(x)

説明

まずf(g(x))x で微分するとそのまま書く。

\displaystyle\frac{df(g(x))}{dx}

これに \frac{dg(x)}{dg(x)}=1 をかけるとこう表せる。

\displaystyle\frac{df(g(x))}{dx}=\frac{df(g(x))}{dx}\times\frac{dg(x)}{dg(x)}=\frac{df(g(x))}{dg(x)}\times\frac{dg(x)}{dx}

これで素直に微分できる。わかりにくければ、 g(x)=y とおいてみれば見やすくなる。

\displaystyle\frac{df(y)}{dx}=\frac{df(y)}{dy}\times\frac{dy}{dx}

例題

f(y)=y^2 + 3y\\y=x^3

f(y)xで微分する。

 \displaystyle\begin{eqnarray}\frac{df(y)}{dx} &=& \frac{df(y)}{dy} \times \frac{dy}{dx}\\\\
&=& (2y+3) \times 3x^2\\
&=& (2x^3+3) \times 3x^2\\
&=& 6x^5+9x^2\end{eqnarray}