simonの開発日記

文系が数学や統計学に挑む

指数関数の微分

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前提知識

対数
対数関数の微分

定理

定理:\displaystyle\frac{d}{dx}e^x=e^x
定理:\displaystyle\frac{d}{dx}a^x=a^x \ln a
定理:\displaystyle\frac{d}{dx}x^x=x^x (\ln x +1)

定理の導出

自然対数の底の指数関数e^xの微分

⇒ネイピア数の指数関数の微分

一般的な指数関数a^xの微分

a^x=X とおけば、

対数の定義:a^x=X \Leftrightarrow \log_a X=x

なわけだから、

\displaystyle x=\log_a X

対数関数の微分定理より

\displaystyle\begin{eqnarray}\frac{dx}{dX}&=&\frac{1}{X\ln a}\\\\
\frac{dX}{dx}&=&\frac{X\ln a}{1}\end{eqnarray}

X=a^x だから、

\displaystyle \frac{d}{dx}a^x=a^x\ln a

指数関数x^xの微分

x^x=X とおく。

両辺の対数をとる

\displaystyle\begin{eqnarray}\ln X &=& \ln x^x\\\\
&=& x\ln x\end{eqnarray}

両辺をxで微分する(⇒合成関数の微分

左辺:\displaystyle\frac{d}{dx}\ln X=\frac{d\ln X}{dX}\frac{dX}{dx}

⇒自然対数関数の微分定理より

左辺:\displaystyle \frac{d}{dx}\ln X=\frac{1}{X}\frac{dX}{dx}

右辺は積の微分定理をつかって、

右辺:\displaystyle \frac{d}{dx}x\ln x=1 \times\ln x + x \times \frac{1}{x}=\ln x +1

左辺=右辺

\displaystyle\begin{eqnarray}\frac{1}{X}\frac{dX}{dx}&=&\ln x +1\\\\
\frac{dX}{dx}&=&X(\ln x +1)\end{eqnarray}

X=x^x なので

\displaystyle \frac{d}{dx}x^x=x^x (\ln x +1)