simonの開発日記

文系が数学や統計学に挑む

対数関数の微分

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定理

自然対数 \ln x の微分

定理:\displaystyle \frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}

対数 \log_a x の微分

定理:\displaystyle \frac{d}{dx}\log_a x=\frac{1}{x\ln a}

導出

自然対数の微分 \frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x} の導出

これは導関数の定義と e の定義から求まる。

\displaystyle\begin{eqnarray} \frac{d}{dx}\log x&=&\lim_{h \to 0}\frac{\ln (x+h)-\ln x}{h}\\
&=&\lim_{h \to 0}\frac{\ln \frac{x+h}{x}}{h}\\
&=&\lim_{h \to 0}\frac{\ln (1+\frac{h}{x})}{h}\\
&=&\lim_{h \to 0}\frac{1}{h}\ln (1+\frac{h}{x})\\
&=&\lim_{h \to 0}\ln (1+\frac{h}{x})^\frac{1}{h}\end{eqnarray}
ここで、 \displaystyle e=\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n なので、\displaystyle \ln \lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n =\ln e=1の形にしたい。

そのために\frac{h}{x}=\frac{1}{n}と置く。

このとき h \to 0 ならば \frac{h}{x}=\frac{1}{n} \to 0 なので、n \to \infty

\displaystyle\begin{eqnarray}\frac{d}{dx}\log x&=&\lim_{n \to \infty}\ln (1+\frac{1}{n})^\frac{n}{x}\\
&=&\lim_{n \to \infty}\frac{1}{x}\ln (1+\frac{1}{n})^n\\
&=&\frac{1}{x}\lim_{n \to \infty}\ln (1+\frac{1}{n})^n=\frac{1}{x}\ln \lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n\\
&=&\frac{1}{x}\times 1\end{eqnarray}

対数の微分 \frac{d}{dx}\log_a x=\frac{1}{x\ln a} の導出

これには自然対数 \frac{d}{dx}\ln x の微分をつかう。

\displaystyle\begin{eqnarray} \frac{d}{dx}\log_a x&=&\frac{d}{dx}\frac{\ln x}{\ln a}\\
\\
&=&\frac{d}{dx}\ln x\frac{1}{\ln a}\end{eqnarray}
ここで、 \frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x} だから

\displaystyle\frac{d}{dx}\log_a x=\frac{1}{x}\frac{1}{\ln a}