simonの開発日記

文系が数学や統計学に挑む

なぜ「0」で割れないのか

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数学で当たり前のようにタブーとされる「0で割る」こと。これがどういう意味なのか、なんでダメなのか。考えてみる。


極限の概念から

極限の式ではこんなものが出てくる。

\displaystyle\lim_{n \to 0} \frac{1}{n}

これはイメージ的にはこんなかんじでみんな扱っているはず。

\displaystyle\frac{1}{0}=\infty

そう。「0で割る」ことはイメージ的には無限大になることだ。

\displaystyle\frac{1}{0.1}=10

\displaystyle\frac{1}{0.01}=100

\displaystyle\frac{1}{0.001}=1000

\displaystyle\frac{1}{0.0001}=10000

⬇︎この調子で行くなら...

\displaystyle\frac{1}{0}=\infty になりそうだな。

ただ、あくまでこれは分母を0に近づけると、分数全体は無限大に近づくというだけで、実際に0で割っているわけではない

無限大という概念

仮に \displaystyle\frac{1}{0}=\infty が成り立つとしても、そもそも「無限大 \infty 」という数が存在するわけではない。
あくまで無限大 \infty とは「発散する(=収束せずいつまでも増え続ける)」という概念だ。だから普段無限大 \infty を扱うときは直接式に組み込まず、極限 \lim を使って間接的に扱う。

なのでやはり \displaystyle\frac{1}{0}=\infty のイメージでは、 \displaystyle\frac{1}{0} という数の存在は示せない。

「1÷0」は成り立たない

そもそも \displaystyle\frac{1}{0} が成り立つとすると、数学的な矛盾が生まれる。

仮に \displaystyle\frac{1}{0} が成り立つとすると

\displaystyle\frac{1}{0} \cdot 0=1\cdot 0^{-1}\cdot 0^1=1\cdot 0^{-1+1}=1\cdot 0^0=1\cdot1=1

となり、0を掛けているのに0にならないという事態になる。

「0÷0」は成り立つか

\displaystyle\frac{1}{0} が成り立たないなら、 \displaystyle\frac{0}{0} はどうだろう。

「0÷0=1」と定義したら?

分母と分子が同じなら1というのはなんとなく納得感がある。

しかしこれはうまくいかない。\displaystyle\frac{0}{0}=1 とすると、

\displaystyle 5=5 \cdot 1=5 \cdot \frac{0}{0}=\frac{5 \cdot 0}{0} =\frac{0}{0}=1


そもそも定義からして破綻している。

「数に0をかけたら0」のはずだが、\displaystyle\frac{0}{0} は分子に0がある、つまり0をかけているのだから0以外になるのはおかしい。

「0÷0=0」と定義したら?

それなら \displaystyle\frac{0}{0}=0 なら成り立つ?

\displaystyle\frac{0}{0}=0 、つまり分母に0をいれられるとすると

\displaystyle 1=\frac{1}{1}=\frac{1\cdot 0}{1\cdot 0}=\frac{0}{0}=0

となり成り立たない。


指数の方面からもいえる。
\displaystyle\frac{0}{0}=0 が成り立つとすると

\displaystyle 0=\frac{0}{0}=\frac{0}{0} \cdot 1=0 \cdot \frac{1}{0}=0^1 \cdot 0^{-1}=0^{1-1}=0^0=1

「0÷0」は成り立たない

\displaystyle\frac{0}{0}=0\displaystyle\frac{0}{0}=1 も成り立たないので、 \displaystyle\frac{0}{0} は成り立たない。

結論:0では割れない

\displaystyle\frac{1}{0}\displaystyle\frac{0}{0} も成り立たないので、分母に0を持ってくることはできないといえる。


...どうですか?