simonの開発日記

文系が数学や統計学に挑む

ネイピア数(自然対数の底)とは

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ネイピア数の定義

定義: ネイピア数 \displaystyle e=\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n

つまり、1よりほんのわずかばかり大きい数を無限に自乗したもの

なんとなく(1+0)^\infty で1になりそう...な気もするが、実際は
e=2.718\cdots
という絶妙な値の無理数となる。

ネイピア数の指数関数

f(x)=e^x

これはよくみる形。グラフを描くとこうなる。
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f(x)=e^\frac{1}{x}(ただし x>0
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ネイピア数の指数関数の微分

定理:\frac{d}{dx}e^x=e^x

ネイピア数の指数関数は微分しても変わらない。
不思議な感じがするが、そもそも不思議な成り立ちの数なので納得できる気もする(?)

一応、証明できる。↓

ネイピア数の指数関数の導関数を求める

まず、微分するとは、導関数を求めるということである。
導関数の定義は

定義: f(x)の導関数 \displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

で、今回は f(x)=e^xの導関数を求める。

\begin{eqnarray}\displaystyle f'(x)&=\lim_{h \to 0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h}\\
\displaystyle &=\lim_{h \to 0}\frac{e^{x}e^{h}-e^x}{h}\\
\displaystyle &=e^{x}\lim_{h \to 0}\frac{e^{h}-1}{h}\\
\end{eqnarray}

ここで、eの定義は \displaystyle e=\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n なので、

\displaystyle f'(x)=e^{x}\lim_{h \to 0}\frac{(\displaystyle \lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n)^{h}-1}{h}

n \to \infty ならば \frac{1}{n} \to 0だから、\frac{1}{n}=h , n=\frac{1}{h}

\begin{eqnarray}\displaystyle f'(x)&=&e^{x}\lim_{h \to 0}\frac{(\displaystyle \lim_{n \to \infty}(1+h)^\frac{1}{h})^{h}-1}{h}\\
&=&e^{x}\lim_{h \to 0}\frac{((1+h)^\frac{1}{h})^{h}-1}{h}=e^{x}\lim_{h \to 0}\frac{(1+h)-1}{h}=e^{x}\lim_{h \to 0}\frac{h}{h}\\\\
&=&e^x
\end{eqnarray}

と求まりました。というかそもそもこうなるようにeを定義したんじゃないかという気がしますね。

おまけ・f(x)=e^\frac{1}{x} の微分

定理:\displaystyle\frac{d}{dx}e^\frac{1}{x}=-\frac{e^\frac{1}{x}}{x^2}

これは合成関数の微分をつかえばよい。

\displaystyle \frac{1}{x}=uとおく。

\begin{eqnarray}\frac{de^u}{dx}&=&\frac{de^u}{du}\frac{du}{dx}\\
&=&e^u\times -\frac{1}{x^2}\end{eqnarray}