simonの開発日記

文系が数学や統計学に挑む

広義積分とは

f:id:simonsnote:20171027152107p:plain:w300


広義積分とは

定義: \displaystyle\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^b f(x) dx=\lim_{a \to -\infty} \int_a^b f(x) dx\\\\
\int_a^{\infty} f(x) dx=\lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) dx\\\\
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx=\lim_{a \to \infty} \int_{-a}^a f(x) dx
\end{eqnarray}

つまり

定積分\displaystyle \int_a^b f(x) dx

ab\infty-\infty に置き換えたもの。

解法

極限の式に直して解く。
あとは普通に定積分をして、最後に\limを解けばいいだけ。

例題

例題1

\displaystyle  \int_0^{\infty}x^2 dx

まず極限の式に直す。

\displaystyle  \int_0^{\infty}x^2 dx=\lim_{a \to \infty} \int_0^a x^2 dx

定積分をする。

\displaystyle\begin{eqnarray}  \lim_{a \to \infty} \int_0^a x^2 dx&=&\lim_{a \to \infty} \left[\frac{x^3}{3}\right]^a_0\\\\
&=&\lim_{a \to \infty} (\frac{a^3}{3}-\frac{0^3}{3})\\\\
&=&\lim_{a \to \infty} \frac{a^3}{3}\\\\
&=&\infty\end{eqnarray}

まあグラフで見れば一目瞭然だが。
f:id:simonsnote:20171027152211p:plain

例題2

\displaystyle  \int_1^{\infty}\frac{1}{x^2} dx

まず極限の式に直す。

\displaystyle  \int_1^{\infty}\frac{1}{x^2} dx=\lim_{a \to \infty} \int_1^{a}\frac{1}{x^2} dx

定積分をする。

\displaystyle\begin{eqnarray}  \lim_{a \to \infty} \int_1^{a}\frac{1}{x^2} dx&=&\lim_{a \to \infty} \left[-\frac{1}{x}\right]^a_1\\\\
&=&\lim_{a \to \infty}  \left[(-\frac{1}{a})-(-\frac{1}{1})\right]\\\\
&=&\lim_{a \to \infty}  (1-\frac{1}{a})\\\\
&=&1\end{eqnarray}
f:id:simonsnote:20171027152224p:plain