simonの開発日記

文系が数学や統計学に挑む

対数とは

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対数の定義

まず、こんなかんじで指数を使った式がある。

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これについて、こう書き直したものを対数という。

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この場合はつまり、3を何乗したら9になる? ⇒2 ということ。

この3の部分をという。

(9の部分を真数というらしいが、あまり聞かない)

特殊な対数

常用対数

底が10の対数を常用対数という。

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つまるところ、10進法において桁の数を表す。
たとえばこんなふうになったら

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xは100と1000の間、つまり3桁の数だとわかる。

自然対数

底がネイピア数 e の対数を自然対数という。

表記

自然対数の表記は3通りある。

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意味はすべておなじで、\log x\ln{x} がよく用いられる。

対数の計算

定理

定理1:\displaystyle \log_a x^y=y\log_a x
定理2:\displaystyle \log_a xy=\log_a x +\log_a y
定理3:\displaystyle \log_a \frac{x}{y}=\log_a x -\log_a y
定理4:\displaystyle \log_a x=\frac{\log_c x}{\log_c a} ( c は1以外の任意の正の数)

定理の導出

定理1:\displaystyle \log_a x^y=y\log_a x の導出

これは導出というか、対数の定義をみれば「そらそうやろ」となる。

対数の定義:a^b=x \Leftrightarrow \log_a x=b
なわけだから、
a^{by}=x^y \Leftrightarrow \log_a x^y=by
b=\log_a x だから、
\log_a x^y=y\log_a x

定理2:\displaystyle \log_a xy=\log_a x +\log_a y の導出

\log_a x=X,\log_a y=Y とすれば x=a^X,y=a^Yなので、

\displaystyle\begin{eqnarray} \log_a xy&=&\log_a a^X a^Y\\
&=&\log_a a^{X+Y}\\
&=&(X+Y)\log_a a\\
&=&X+Y\\
&=&\log_a x+\log_a y\end{eqnarray}

定理3:\displaystyle \log_a \frac{x}{y}=\log_a x -\log_a y の導出

定理2とおなじこと。

\log_a x=X,\log_a y=Y とすれば x=a^X,y=a^Yなので、

\displaystyle\begin{eqnarray} \log_a \frac{x}{y}&=&\log_a \frac{a^X}{a^Y}\\
&=&\log_a a^Xa^{-Y}\\
&=&\log_a a^{X-Y}\\
&=&(X-Y)\log_a a\\
&=&X-Y\\
&=&\log_a x-\log_a y\end{eqnarray}

定理4:\displaystyle \log_a x=\frac{\log_c x}{\log_c a} の導出

\displaystyle\begin{eqnarray} \log_c a^{b}&=&\log_c x\\
\\
\displaystyle b\log_c a&=&\log_c x\\
\\
\displaystyle b&=&\frac{\log_c x}{\log_c a}\end{eqnarray}

対数の定義:a^b=x \Leftrightarrow \log_a x=b

なわけだから、

\displaystyle\log_a x=\frac{\log_c x}{\log_c a}

対数関数の微分

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対数を応用した計算

両辺の対数をとる

そもそも「=」(等号)とは両辺が同じ値だということなので、

a=b
ならば
\log_c a=\log_c b ( c は1以外の任意の正の数)

だ。

これを利用して計算することを、「両辺の対数をとる」といって、指数を下に降ろしたいときなど便利。

ただ、たとえば \log_1 3 という数は存在しない(1を何乗しても3にはならない)ので、c は1以外の任意の正の数という制限がある。

例題

3^x=5^{2x+1} のとき、xを求める。

両辺の対数をとると、

\displaystyle\begin{eqnarray}\log 3^x&=&\log 5^{2x+1}\\\\
x\log 3&=&(2x+1)\log 5\\\\
&=&2x\log 5+\log 5\\\\
x\log 3-2x\log 5&=&\log 5\\\\
x(\log 3-2\log 5)&=&\log 5\\\\
x&=&\frac{\log 5}{\log 3-2\log 5}\\\\
&=&\frac{1}{\frac{\log 3}{\log 5}-2}\\\\
&=&\frac{1}{\log_5 3 - 2}

\end{eqnarray}