simonの開発日記

文系が数学や統計学に挑む

平均とは

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「平均」とは日常でもよく聞く言葉だが、どういう意味なんだろう...。

なんとなく、「真ん中の値」というイメージがあるだろう。実際そんなイメージでOKだ。しかし、「真ん中の値」の測り方は平均以外にもいくつかあるし、平均の算出方法にもいろいろある。


平均の概念

平均とは、「みんなあわせてこの値だから、ひとつあたりいくら」という考え方。

たとえばこんなふうに中の水の量がバラバラのコップが3つあるとする。
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これを平均するにはどうすればよいか。

まずいったん、大きなたらいにでも水を集める。
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こうなる。
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それから、均等にコップに水を戻せば、
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これで、平均できた。
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このように、平均とは
①すべてをいったんひとつに合わせて
②ひとつあたりに戻す

ことによって求まる。
そして、どうやって「合わせて、戻す」かによって方法がわかれる。

平均の種類

相加平均

加法平均・算術平均ともよばれる。もっとも一般的な平均法で、ふつう、ただ「平均」といえばこれを指す。

具体的な方法は
①すべてをいったんひとつに足し合わせて
②ひとつあたりに戻す(足した分だけ割る)

テストの点数が

Aくん:7点
Bくん:4点
Cくん:8点

のとき、平均点を求める。

この相加平均はこうなる。

相加平均\displaystyle =(7+4+8)\times \frac{1}{3}
×

ということで、だいたい6.3点となった。


一般化すればこうなる。

n個のサンプルの相加平均は、n番目のサンプルの値をa_nとすると、
\displaystyle  (a_1 + a_2 + \cdots + a_n)\times \frac{1}{n}

相乗平均

乗法平均・幾何平均ともよばれる。

具体的な方法は
①すべてをいったんひとつに掛け合わせて
②ひとつあたりに戻す(掛けた分だけルートにいれる)

若干ピンとこないかもしれないが、たとえば 2\times 2\times 2 つまり 2^3 を元に戻すには \sqrt[3]{2^3} とすればよい。

テストの点数が

Aくん:7点
Bくん:4点
Cくん:8点

のとき、平均点を求める。

この相乗平均はこうなる。

相乗平均\displaystyle =(7\times 4\times 8)^\frac{1}{3}

ということで、だいたい6.07点くらいになった。


一般化すればこうなる。

n個のサンプルの相乗平均は、n番目のサンプルの値をa_nとすると、
\displaystyle  (a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_n)^\frac{1}{n}

その他の平均

ほかにも「調和平均」があるし、「加重平均」という言葉もある(加重平均は平均の種類ではない気がするし、べつに概念を知らなくても考えればわかることと思う)。
これらについてはまたこんど。