
前提知識
・正規分布
誤差関数の定義
誤差関数はガウス直々の定義らしく、以下のように定義される。
定義:誤差関数 
とすると、誤差関数は1となる。
なので、このように を定義できる。
定義:
この と
のどちらも誤差関数と呼ぶが、ふつう誤差関数といえば
を指す。
正規分布との関係
誤差関数は、正規分布を違うかたちで表したものともいえる。
誤差の収まる範囲
あらゆる誤差は正規分布に従うとされているので、誤差が に収まる確率は、標準正規分布のPDFを
から
まで積分すれば求まる。(誤差なので、いうまでもなく平均は0)

ただし、

つまり、 とは、誤差が
の範囲に収まる確率そのものといえる。
導出
誤差が に収まる確率(=標準正規分布のPDFを
から
まで積分)を誤差関数で表したいから、
となる を求める。(
なので、解は存在する)
両辺を (標準正規分布は0を中心に左右対称なので、
)
両辺を微分(定積分の微分公式より)
左辺:
右辺:
左辺=右辺とすると
つまり、
なので、これを満たす は
と求まる。