simonの開発日記

文系が数学や統計学に挑む

対数とは

数学

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対数の定義

まず、こんなかんじで指数を使った式がある。

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これについて、こう書き直したものを対数という。

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この場合はつまり、３を何乗したら９になる？　⇒２　ということ。

この３の部分を底という。

（９の部分を真数というらしいが、あまり聞かない）

特殊な対数

常用対数

底が10の対数を常用対数という。

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つまるところ、10進法において桁の数を表す。
たとえばこんなふうになったら

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xは100と1000の間、つまり３桁の数だとわかる。

自然対数

底がネイピア数 e の対数を自然対数という。

表記

自然対数の表記は３通りある。

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意味はすべておなじで、\log x か \ln{x} がよく用いられる。

対数の計算

定理

定理１：\displaystyle \log_a x^y=y\log_a x
定理２：\displaystyle \log_a xy=\log_a x +\log_a y
定理３：\displaystyle \log_a \frac{x}{y}=\log_a x -\log_a y
定理４：\displaystyle \log_a x=\frac{\log_c x}{\log_c a}　（ c は１以外の任意の正の数）

定理の導出

定理１：\displaystyle \log_a x^y=y\log_a x の導出

これは導出というか、対数の定義をみれば「そらそうやろ」となる。

対数の定義：a^b=x \Leftrightarrow \log_a x=b
なわけだから、
a^{by}=x^y \Leftrightarrow \log_a x^y=by
b=\log_a x だから、
\log_a x^y=y\log_a x

定理２：\displaystyle \log_a xy=\log_a x +\log_a y の導出

\log_a x=X,\log_a y=Y とすれば x=a^X,y=a^Yなので、

\displaystyle\begin{eqnarray} \log_a xy&=&\log_a a^X a^Y\\ &=&\log_a a^{X+Y}\\ &=&(X+Y)\log_a a\\ &=&X+Y\\ &=&\log_a x+\log_a y\end{eqnarray}

定理３：\displaystyle \log_a \frac{x}{y}=\log_a x -\log_a y の導出

定理２とおなじこと。

\log_a x=X,\log_a y=Y とすれば x=a^X,y=a^Yなので、

\displaystyle\begin{eqnarray} \log_a \frac{x}{y}&=&\log_a \frac{a^X}{a^Y}\\ &=&\log_a a^Xa^{-Y}\\ &=&\log_a a^{X-Y}\\ &=&(X-Y)\log_a a\\ &=&X-Y\\ &=&\log_a x-\log_a y\end{eqnarray}

定理４：\displaystyle \log_a x=\frac{\log_c x}{\log_c a} の導出

a^{b}=x　の両辺の対数をとると
\displaystyle\begin{eqnarray} \log_c a^{b}&=&\log_c x\\ \\ \displaystyle b\log_c a&=&\log_c x\\ \\ \displaystyle b&=&\frac{\log_c x}{\log_c a}\end{eqnarray}

対数の定義：a^b=x \Leftrightarrow \log_a x=b

なわけだから、

\displaystyle\log_a x=\frac{\log_c x}{\log_c a}

対数関数の微分

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対数を応用した計算

両辺の対数をとる

そもそも「=」（等号）とは両辺が同じ値だということなので、

a=b
ならば
\log_c a=\log_c b　（ c は１以外の任意の正の数）

だ。

これを利用して計算することを、「両辺の対数をとる」といって、指数を下に降ろしたいときなど便利。

ただ、たとえば \log_1 3 という数は存在しない（１を何乗しても３にはならない）ので、c は１以外の任意の正の数という制限がある。

例題

3^x=5^{2x+1}　のとき、xを求める。

両辺の対数をとると、

\displaystyle\begin{eqnarray}\log 3^x&=&\log 5^{2x+1}\\\\ x\log 3&=&(2x+1)\log 5\\\\ &=&2x\log 5+\log 5\\\\ x\log 3-2x\log 5&=&\log 5\\\\ x(\log 3-2\log 5)&=&\log 5\\\\ x&=&\frac{\log 5}{\log 3-2\log 5}\\\\ &=&\frac{1}{\frac{\log 3}{\log 5}-2}\\\\ &=&\frac{1}{\log_5 3 - 2} \end{eqnarray}