平均とは - simonの開発日記

「平均」とは日常でもよく聞く言葉だが、どういう意味なんだろう...。

なんとなく、「真ん中の値」というイメージがあるだろう。実際そんなイメージでOKだ。しかし、「真ん中の値」の測り方は平均以外にもいくつかあるし、平均の算出方法にもいろいろある。

平均とは、「みんなあわせてこの値だから、ひとつあたりいくら」という考え方。

たとえばこんなふうに中の水の量がバラバラのコップが３つあるとする。
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これを平均するにはどうすればよいか。

まずいったん、大きなたらいにでも水を集める。
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こうなる。
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それから、均等にコップに水を戻せば、
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これで、平均できた。
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このように、平均とは
①すべてをいったんひとつに合わせて
②ひとつあたりに戻す

ことによって求まる。
そして、どうやって「合わせて、戻す」かによって方法がわかれる。

加法平均・算術平均ともよばれる。もっとも一般的な平均法で、ふつう、ただ「平均」といえばこれを指す。

具体的な方法は
①すべてをいったんひとつに足し合わせて
②ひとつあたりに戻す（足した分だけ割る）

テストの点数が

Aくん：7点
Bくん：4点
Cくん：8点

のとき、平均点を求める。

この相加平均はこうなる。

相加平均 $\displaystyle =(7+4+8)\times \frac{1}{3}$

ということで、だいたい6.3点となった。

一般化すればこうなる。

$n$ 個のサンプルの相加平均は、 $n$ 番目のサンプルの値を $a_n$ とすると、
$\displaystyle (a_1 + a_2 + \cdots + a_n)\times \frac{1}{n}$

乗法平均・幾何平均ともよばれる。

具体的な方法は
①すべてをいったんひとつに掛け合わせて
②ひとつあたりに戻す（掛けた分だけルートにいれる）

若干ピンとこないかもしれないが、たとえば $2\times 2\times 2$ つまり $2^3$ を元に戻すには $\sqrt[3]{2^3}$ とすればよい。

テストの点数が

Aくん：7点
Bくん：4点
Cくん：8点

のとき、平均点を求める。

この相乗平均はこうなる。

相乗平均 $\displaystyle =(7\times 4\times 8)^\frac{1}{3}$

ということで、だいたい6.07点くらいになった。

一般化すればこうなる。

$n$ 個のサンプルの相乗平均は、 $n$ 番目のサンプルの値を $a_n$ とすると、
$\displaystyle (a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_n)^\frac{1}{n}$

ほかにも「調和平均」があるし、「加重平均」という言葉もある（加重平均は平均の種類ではない気がするし、べつに概念を知らなくても考えればわかることと思う）。
これらについてはまたこんど。